> ## Content Index
> Fetch the complete content index at: https://revistamanutencao.com.br/llms.txt
> Use this file to discover other available public pages before exploring further.

# Fundamentos estatísticos da Engenharia de Confiabilidade
- URL: https://revistamanutencao.com.br/literatura/tecnica/confiabilidade/fundamentos-estatisticos-da-engenharia-de-confiabilidade/
- Published: 2022-09-20T21:56:27.000Z
- Updated: 2026-11-01T18:30:10.000Z
- Description: Este artigo fornece uma breve introdução às equações elementares e definições estatística mais comuns e fundamentais utilizadas na engenharia de confiabilidade e análise de dados de vida.
- Author: Fauzi Mendonça
- Tags: Confiabilidade, Literatura, Técnica, Engenharia, Estatística, Reliability, Probabilidade, #import-joomla, #source-db-wayback, #mathjax, #Import 2026-11-01 14:12

Este artigo fornece uma breve introdução às equações elementares e definições estatísticas mais comuns e fundamentais utilizadas na [engenharia de confiabilidade](https://revistamanutencao.com.br/literatura/tecnica/confiabilidade/engenharia-de-confiabilidade-uma-breve-introducao/) e [análise de dados de vida](https://revistamanutencao.com.br/literatura/tecnica/confiabilidade/introducao-a-analise-de-dados-de-vida/).

##  Variáveis aleatórias 

![Dados variaveis aleatorias](https://storage.ghost.io/c/4e/b0/4eb0591b-c365-4e1f-b96e-c10832741266/content/images/2022/09/dados-variaveis-aleatorias.png)

Em geral, a maioria dos problemas da [engenharia de confiabilidade ](https://revistamanutencao.com.br/literatura/tecnica/confiabilidade/rcm-funcao-estrategica-na-manutencao/)lida com medidas quantitativas, como por exemplo o tempo até a falha de um componente, ou medidas qualitativas, como se um componente é defeituoso ou não defeituoso. Podemos então usar uma variável aleatória **X** para denotar essas medidas possíveis.

[Entenda as diferenças entre defeito, falha e pane](https://revistamanutencao.com.br/literatura/tecnica/manutencao/entenda-as-diferencas-entre-falha-defeito-e-pane/)

No caso de tempos de falha, nossa variável aleatória **X** é o tempo de falha do componente e pode assumir um número infinito de valores possíveis em um intervalo de zero (0) a infinito (∞) (já que não sabemos o tempo exato *a priori*). Nosso componente pode ser encontrado com falha a qualquer momento após o tempo 0 (por exemplo, às 12 horas ou às 100 horas e assim por diante), assim **X** pode assumir qualquer valor neste intervalo. Neste caso, nossa variável aleatória **X** pode ser definida como uma *variável aleatória contínua*. Nesta referência, trataremos quase exclusivamente de variáveis aleatórias contínuas.

Ao determinar que um componente está defeituoso ou não defeituoso, apenas dois resultados são possíveis. Aquilo é, **X** é uma variável aleatória que pode assumir um de apenas dois valores (digamos defeituoso = 0 e não defeituoso = 1). Neste caso, diz-se que a variável é uma variável aleatória discreta.

###  A função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa 

A **função de densidade de probabilidade (*fdp*)** e a **função de distribuição cumulativa (fdc)** são duas das funções estatísticas mais importantes em [confiabilidade](https://tractian.com/blog/o-que-e-confiabilidade-guia-definitivo-2021?ref=revistamanutencao.com.br) e estão intimamente relacionadas. Quando essas funções são conhecidas, quase qualquer outra medida de confiabilidade de interesse pode ser derivada ou obtida. Vamos agora examinar mais de perto essas funções e como elas se relacionam com outras medidas de confiabilidade, como a função de confiabilidade e a taxa de falha.

De probabilidade e estatística, dada uma variável aleatória contínua **X**, denotamos:

- A função de densidade de probabilidade, *fdp* , como **f( x )**.
- A função de distribuição cumulativa, *fdc* , como **F( x )**.

A *fdp e* *fdc* fornecem uma descrição completa da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. A figura a seguir ilustra uma fdp:

![funcao de x a b](https://storage.ghost.io/c/4e/b0/4eb0591b-c365-4e1f-b96e-c10832741266/content/images/2022/09/funcao-de-x-a-b.png)

As próximas figuras ilustram a relação *fdp* \- *fdc:*

![variavel aleatoria x](https://storage.ghost.io/c/4e/b0/4eb0591b-c365-4e1f-b96e-c10832741266/content/images/2022/09/variavel-aleatoria-x.png)

Se **X** é uma variável aleatória contínua, então a *fdp* de **X** é uma função, **f(x)**, tal que para quaisquer dois números, **a e b** com **a ≤ b**:

\\\[P\\left ( a\\leq X \\leq b \\right )=\\int\_{a}^{b}f(x)dx\\\]

Ou seja, a probabilidade de **X** assumir um valor no intervalo **\[a , b\]** é a área sob a função densidade de **a para b**, como mostrado acima. A *fdp* representa a frequência relativa dos tempos de falha em função do tempo.

A *fdc* é uma função, **F( x )**, de uma variável aleatória **X**, e é definido para um número **x** por:

\\\[F(x)=P(X \\leq x)=\\int\_{0}^{x}f(s)ds\\\]

Ou seja, para um número **x**, **F( x )** é a probabilidade de que o valor observado de **X** será no máximo **x**. A *fdc* representa os valores acumulados da *fdp*. Ou seja, o valor de um ponto na curva da *fdc* representa a área sob a curva à esquerda desse ponto na *fdp*. Na **confiabilidade**, a *fdc* é utilizada para medir a probabilidade de o item em questão falhar, antes do valor de tempo associado, **t**, e também é chamada de ***não confiabilidade***.

[Curva PF: entenda o conceito e aplicação](https://tractian.com/blog/curva-pf?ref=revistamanutencao.com.br)

Observe que, dependendo da função densidade, denotada por **f( x )**, os limites variam de acordo com a região na qual a distribuição é definida. Por exemplo, para as distribuições de vida consideradas nesta referência, com exceção da distribuição normal, esse intervalo seria \[ 0 , + ∞ \].

###  Relação matemática: *fdp* e fdc 

A relação matemática entre a ***fdp*** e a **fdc** é dada por:

\\\[F(x)\\int\_{0}^{x} f(s)ds\\\]

Onde **s** é uma variável de integração fictícia.

Por outro lado:

\\\[f(x)=\\frac{d(F(x))}{dx}\\\]

A ***fdc*** é a área sob a função densidade de probabilidade até um valor de **x**. A área total sob a **fdp** é sempre igual a **1**, ou matematicamente:

![Area total fdc fdp](https://storage.ghost.io/c/4e/b0/4eb0591b-c365-4e1f-b96e-c10832741266/content/images/2022/09/area-total-fdc-fdp.png)

\\\[\\int\_{-\\infty }^{+\\infty}f(x)dx=1\\\]

A conhecida distribuição normal (ou gaussiana) é um exemplo de função de densidade de probabilidade. A fdp para esta distribuição é dada por:

\\\[f(t)=\\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2\\Pi }}e^{-\\frac{1}{2}{(\\frac{t-\\mu }{\\sigma })^{2}}}\\\]

Onde **μ** é a média e **σ** é o desvio padrão. A distribuição normal tem dois parâmetros, **μ** e **σ**.

Outra é a distribuição lognormal, cuja *fdp* é dada por:

\\\[f(t)=\\frac{1}{t.\\sigma '\\sqrt{2\\Pi }}e^{-\\frac{1}{2}\\left ( \\frac{t'-\\mu '}{\\sigma '} \\right )^{2}}\\\]

Onde **μ′** é a média dos logaritmos naturais dos tempos até a falha e **σ′** é o desvio padrão dos logaritmos naturais dos tempos até a falha. Novamente, esta é uma distribuição de 2 parâmetros.

###  Função de confiabilidade 

A função de confiabilidade pode ser derivada usando a definição anterior da função de distribuição cumulativa:

\\\[F(x)=\\int\_{0}^{x}f(s)ds\\\]

A partir da definição anterior da *fdc*, a probabilidade de um evento ocorrer no tempo **t** é dada por:

\\\[F(t)=\\int\_{0}^{t}f(s)ds\\\]

Ou, pode-se igualar este evento à probabilidade de uma unidade falhar pelo tempo **t**.

Como essa função define a probabilidade de falha em um determinado tempo, podemos considerá-la como a função de **não confiabilidade**. Subtrair essa probabilidade de **1** nos dará a função de **confiabilidade**, uma das funções mais importantes na análise de dados de vida. A função de confiabilidade fornece a probabilidade de sucesso de uma unidade realizar uma missão em um determinado intervalo de tempo. A figura a seguir ilustra isso.

![Confiabilidade nao confiabilidade](https://storage.ghost.io/c/4e/b0/4eb0591b-c365-4e1f-b96e-c10832741266/content/images/2022/09/confiabilidade-nao-confiabilidade.png)

 Para mostrar isso matematicamente, primeiro definimos a função de não confiabilidade:

\\\[Q(t)\\\]

Que é a probabilidade de falha, ou a probabilidade de que nosso tempo de falha esteja na região de **0** e **t**. Este é o mesmo que a *fdc* . Então de

\\\[F(t)=\\int\_{0}^{t}f(s)ds : Q(t)=F(t)=\\int\_{0}^{t}f(s)ds\\\]

Confiabilidade e falta de confiabilidade são os dois únicos eventos considerados e são mutuamente exclusivos; portanto, a soma dessas probabilidades é igual à unidade.

Então:

\\\[Q(t)+R(t)=1\\\]

\\\[R(t)=1-Q(t)\\\]

\\\[R(t)=1-\\int\_{0}^{t}f(s)ds\\\]

\\\[R(t)=\\int\_{t}^{\\infty}f(s)ds\\\]

Invesramente:

\\\[F(t)=-\\frac{d(R(t))}{dt}\\\]

##  Função de confiabilidade condicional 

A confiabilidade condicional é a probabilidade de completar com sucesso outra missão após a conclusão bem-sucedida de uma missão anterior. O tempo da missão anterior e o tempo da missão a ser realizada devem ser levados em consideração para os cálculos de confiabilidade condicional. A função de confiabilidade condicional é dada por:

\\\[R(t|T)=\\frac{R(T+t)}{R(T)}\\\]

##  Função de taxa de falha 

A função de taxa de falhas permite determinar o número de falhas que ocorrem por unidade de tempo. Omitindo a derivação, a taxa de falha é matematicamente dada como:

\\\[\\lambda (t)=\\frac{f(t)}{R(t)}\\\]

Isso fornece a taxa de falha instantânea, também conhecida como função de risco. É útil para caracterizar o comportamento de falha de um componente, determinar a alocação da equipe de manutenção, planejar o fornecimento de peças sobressalentes, etc. A taxa de falha é indicada como falhas por unidade de tempo.

###  Vida média (MTTF) 

A função de vida média, que fornece uma medida do tempo médio de operação até a falha, é dada por:

\\\[\\bar{T}=m=\\int\_{0}^{\\infty}t.f(t)dt\\\]

Este é o tempo médio até a falha esperado ou é indicado como o MTTF (Tempo Médio Até a Falha).

[Saiba as diferenças entre MTTR, MTTF e MTBF](https://revistamanutencao.com.br/literatura/tecnica/gestao-de-ativos/saiba-a-diferenca-entre-os-indicadores-mttr-mtbf-e-mttf/)

O MTTF, mesmo sendo um índice de desempenho de confiabilidade, não fornece nenhuma informação sobre a distribuição de falhas do componente em questão ao lidar com a maioria das distribuições de tempo de vida. Como distribuições muito diferentes podem ter meios idênticos, **não é sensato usar o MTTF como a única medida da confiabilidade de um componente**.

###  Vida mediana 

Vida mediana, ou:

\\\[\\bar{T}\\\]

é o valor da variável aleatória que tem exatamente metade da área sob a *fdp* à sua esquerda e metade à sua direita. Representa o centróide da distribuição. A mediana é obtida resolvendo a seguinte equação para:

\\\[\\breve{T}\\\]

(Para dados individuais, a mediana é o valor do ponto médio.)

\\\[\\int\_{-\\infty }^{\\breve{T}}f(t)dt=0.5\\\]

###  Vida modal (ou modo) 

A vida modal (ou modo):

\\\[\\tilde{T}\\\]

é o valor de **T** que satisfaz:

\\\[\\frac{d\[f(t)\]}{dt}=0\\\]

Para uma distribuição contínua, a moda é o valor de **t** que corresponde à densidade de probabilidade máxima (o valor no qual a *fdp* tem seu valor máximo, ou o pico da curva).

###  Distribuições vitalícias 

Uma distribuição estatística é totalmente descrita por sua f*dp*. Nas seções anteriores, usamos a definição da *fdp* para mostrar como todas as outras funções mais comumente utilizadas na engenharia de confiabilidade e análise de dados de vida podem ser derivadas. A função de confiabilidade, função de taxa de falha, função de tempo médio e função de vida mediana podem ser determinadas diretamente a partir da definição de *fdp*, ou **f(t)**. Existem diferentes distribuições, como a normal (Gaussiana), exponencial, Weibull e etc, e cada uma tem uma forma predefinida de **f(t)** que pode ser encontrada em muitas referências. De fato, existem algumas referências que se dedicam exclusivamente a diferentes tipos de distribuições estatísticas. 

[Baixe gratuitamente o ebook Curva da banheira](https://bit.ly/3MaxDMa?ref=revistamanutencao.com.br)

Essas distribuições foram formuladas por estatísticos, matemáticos e engenheiros para modelar matematicamente ou representar determinado comportamento. Por exemplo, a [distribuição Weibull ](https://revistamanutencao.com.br/literatura/tecnica/confiabilidade/introducao-a-analise-de-dados-de-vida/)foi formulada por **Waloddi Weibull** e, portanto, leva seu nome. Algumas distribuições tendem a representar melhor os dados de vida e são mais comumente chamadas de "distribuições de vida".

Uma introdução mais detalhada sobre esse assunto será apresentada no artigo Distribuições de Vida.

| Traduzido e publicado sob licença **Creative Commons** |  | [**ReliaWiki**](https://reliawiki.org/index.php/Basic%5FStatistical%5FBackground?ref=revistamanutencao.com.br "Clique para visualizar") |
| ------------------------------------------------------ |  | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |