Fundamentos estatísticos da Engenharia de Confiabilidade

Fundamentos estatísticos da Engenharia de Confiabilidade

Este artigo fornece uma breve introdução às equações elementares e definições estatísticas mais comuns e fundamentais utilizadas na engenharia de confiabilidade e análise de dados de vida.

 Variáveis ​​aleatórias 

Dados variaveis aleatorias

Em geral, a maioria dos problemas da engenharia de confiabilidade lida com medidas quantitativas, como por exemplo o tempo até a falha de um componente, ou medidas qualitativas, como se um componente é defeituoso ou não defeituoso. Podemos então usar uma variável aleatória X para denotar essas medidas possíveis.

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No caso de tempos de falha, nossa variável aleatória X é o tempo de falha do componente e pode assumir um número infinito de valores possíveis em um intervalo de zero (0) a infinito (∞) (já que não sabemos o tempo exato a priori). Nosso componente pode ser encontrado com falha a qualquer momento após o tempo 0 (por exemplo, às 12 horas ou às 100 horas e assim por diante), assim X pode assumir qualquer valor neste intervalo. Neste caso, nossa variável aleatória X pode ser definida como uma variável aleatória contínua. Nesta referência, trataremos quase exclusivamente de variáveis ​​aleatórias contínuas.

Ao determinar que um componente está defeituoso ou não defeituoso, apenas dois resultados são possíveis. Aquilo é, X é uma variável aleatória que pode assumir um de apenas dois valores (digamos defeituoso = 0 e não defeituoso = 1). Neste caso, diz-se que a variável é uma variável aleatória discreta.

 A função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa 

A função de densidade de probabilidade (fdp) e a função de distribuição cumulativa (fdc) são duas das funções estatísticas mais importantes em confiabilidade e estão intimamente relacionadas. Quando essas funções são conhecidas, quase qualquer outra medida de confiabilidade de interesse pode ser derivada ou obtida. Vamos agora examinar mais de perto essas funções e como elas se relacionam com outras medidas de confiabilidade, como a função de confiabilidade e a taxa de falha.

De probabilidade e estatística, dada uma variável aleatória contínua X, denotamos:

  • A função de densidade de probabilidade, fdp , como f( x ).
  • A função de distribuição cumulativa, fdc , como F( x ).

A fdp e fdc fornecem uma descrição completa da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. A figura a seguir ilustra uma fdp:

funcao de x a b

As próximas figuras ilustram a relação fdp - fdc:

variavel aleatoria x

Se X é uma variável aleatória contínua, então a fdp de X é uma função, f(x), tal que para quaisquer dois números, a e b com a ≤ b:

\[P\left ( a\leq X \leq b \right )=\int_{a}^{b}f(x)dx\]

Ou seja, a probabilidade de X assumir um valor no intervalo [a , b] é a área sob a função densidade de a para b, como mostrado acima. A fdp representa a frequência relativa dos tempos de falha em função do tempo.

fdc é uma função, F( x ), de uma variável aleatória X, e é definido para um número x por:

\[F(x)=P(X \leq x)=\int_{0}^{x}f(s)ds\]

Ou seja, para um número x, F( x ) é a probabilidade de que o valor observado de X será no máximo x. A fdc representa os valores acumulados da fdp. Ou seja, o valor de um ponto na curva da fdc representa a área sob a curva à esquerda desse ponto na fdp. Na confiabilidade, a fdc é utilizada para medir a probabilidade de o item em questão falhar, antes do valor de tempo associado, t, e também é chamada de não confiabilidade.

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Observe que, dependendo da função densidade, denotada por f( x ), os limites variam de acordo com a região na qual a distribuição é definida. Por exemplo, para as distribuições de vida consideradas nesta referência, com exceção da distribuição normal, esse intervalo seria [ 0 , + ∞ ].

 Relação matemática: fdp e fdc 

A relação matemática entre a fdp e a fdc é dada por:

\[F(x)\int_{0}^{x} f(s)ds\]

Onde s é uma variável de integração fictícia.

Por outro lado:

\[f(x)=\frac{d(F(x))}{dx}\]

fdc é a área sob a função densidade de probabilidade até um valor de x. A área total sob a fdp é sempre igual a 1, ou matematicamente:

Area total fdc fdp

\[\int_{-\infty }^{+\infty}f(x)dx=1\]

A conhecida distribuição normal (ou gaussiana) é um exemplo de função de densidade de probabilidade. A fdp para esta distribuição é dada por:

\[f(t)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\Pi }}e^{-\frac{1}{2}{(\frac{t-\mu }{\sigma })^{2}}}\]

Onde μ é a média e σ é o desvio padrão. A distribuição normal tem dois parâmetros, μ e σ.

Outra é a distribuição lognormal, cuja fdp é dada por:

\[f(t)=\frac{1}{t.\sigma '\sqrt{2\Pi }}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{t'-\mu '}{\sigma '} \right )^{2}}\]

Onde μ′ é a média dos logaritmos naturais dos tempos até a falha e σ′ é o desvio padrão dos logaritmos naturais dos tempos até a falha. Novamente, esta é uma distribuição de 2 parâmetros.

 Função de confiabilidade 

A função de confiabilidade pode ser derivada usando a definição anterior da função de distribuição cumulativa:

\[F(x)=\int_{0}^{x}f(s)ds\]

A partir da definição anterior da fdc, a probabilidade de um evento ocorrer no tempo t é dada por:

\[F(t)=\int_{0}^{t}f(s)ds\]

Ou, pode-se igualar este evento à probabilidade de uma unidade falhar pelo tempo t.

Como essa função define a probabilidade de falha em um determinado tempo, podemos considerá-la como a função de não confiabilidade. Subtrair essa probabilidade de 1 nos dará a função de confiabilidade, uma das funções mais importantes na análise de dados de vida. A função de confiabilidade fornece a probabilidade de sucesso de uma unidade realizar uma missão em um determinado intervalo de tempo. A figura a seguir ilustra isso.

Confiabilidade nao confiabilidade

 Para mostrar isso matematicamente, primeiro definimos a função de não confiabilidade:

\[Q(t)\]

Que é a probabilidade de falha, ou a probabilidade de que nosso tempo de falha esteja na região de 0 e t. Este é o mesmo que a fdc . Então de

\[F(t)=\int_{0}^{t}f(s)ds : Q(t)=F(t)=\int_{0}^{t}f(s)ds\]

Confiabilidade e falta de confiabilidade são os dois únicos eventos considerados e são mutuamente exclusivos; portanto, a soma dessas probabilidades é igual à unidade.

Então:

\[Q(t)+R(t)=1\]

\[R(t)=1-Q(t)\]

\[R(t)=1-\int_{0}^{t}f(s)ds\]

\[R(t)=\int_{t}^{\infty}f(s)ds\]

Invesramente:

\[F(t)=-\frac{d(R(t))}{dt}\]

 Função de confiabilidade condicional 

A confiabilidade condicional é a probabilidade de completar com sucesso outra missão após a conclusão bem-sucedida de uma missão anterior. O tempo da missão anterior e o tempo da missão a ser realizada devem ser levados em consideração para os cálculos de confiabilidade condicional. A função de confiabilidade condicional é dada por:

\[R(t|T)=\frac{R(T+t)}{R(T)}\]

 Função de taxa de falha 

A função de taxa de falhas permite determinar o número de falhas que ocorrem por unidade de tempo. Omitindo a derivação, a taxa de falha é matematicamente dada como:

\[\lambda (t)=\frac{f(t)}{R(t)}\]

Isso fornece a taxa de falha instantânea, também conhecida como função de risco. É útil para caracterizar o comportamento de falha de um componente, determinar a alocação da equipe de manutenção, planejar o fornecimento de peças sobressalentes, etc. A taxa de falha é indicada como falhas por unidade de tempo.

 Vida média (MTTF) 

A função de vida média, que fornece uma medida do tempo médio de operação até a falha, é dada por:

\[\bar{T}=m=\int_{0}^{\infty}t.f(t)dt\]

Este é o tempo médio até a falha esperado ou é indicado como o MTTF (Tempo Médio Até a Falha).

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O MTTF, mesmo sendo um índice de desempenho de confiabilidade, não fornece nenhuma informação sobre a distribuição de falhas do componente em questão ao lidar com a maioria das distribuições de tempo de vida. Como distribuições muito diferentes podem ter meios idênticos, não é sensato usar o MTTF como a única medida da confiabilidade de um componente.

 Vida mediana 

Vida mediana, ou:

\[\bar{T}\]

é o valor da variável aleatória que tem exatamente metade da área sob a fdp à sua esquerda e metade à sua direita. Representa o centróide da distribuição. A mediana é obtida resolvendo a seguinte equação para:

\[\breve{T}\]

(Para dados individuais, a mediana é o valor do ponto médio.)

\[\int_{-\infty }^{\breve{T}}f(t)dt=0.5\]

 Vida modal (ou modo) 

A vida modal (ou modo):

\[\tilde{T}\]

é o valor de T que satisfaz:

\[\frac{d[f(t)]}{dt}=0\]

Para uma distribuição contínua, a moda é o valor de t que corresponde à densidade de probabilidade máxima (o valor no qual a fdp tem seu valor máximo, ou o pico da curva).

 Distribuições vitalícias 

Uma distribuição estatística é totalmente descrita por sua fdp. Nas seções anteriores, usamos a definição da fdp para mostrar como todas as outras funções mais comumente utilizadas na engenharia de confiabilidade e análise de dados de vida podem ser derivadas. A função de confiabilidade, função de taxa de falha, função de tempo médio e função de vida mediana podem ser determinadas diretamente a partir da definição de fdp, ou f(t). Existem diferentes distribuições, como a normal (Gaussiana), exponencial, Weibull e etc, e cada uma tem uma forma predefinida de f(t) que pode ser encontrada em muitas referências. De fato, existem algumas referências que se dedicam exclusivamente a diferentes tipos de distribuições estatísticas. 

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Essas distribuições foram formuladas por estatísticos, matemáticos e engenheiros para modelar matematicamente ou representar determinado comportamento. Por exemplo, a distribuição Weibull foi formulada por Waloddi Weibull e, portanto, leva seu nome. Algumas distribuições tendem a representar melhor os dados de vida e são mais comumente chamadas de "distribuições de vida".

Uma introdução mais detalhada sobre esse assunto será apresentada no artigo Distribuições de Vida.

Traduzido e publicado sob licença Creative Commons Licença Creative Commons ReliaWiki
Fauzi Mendonça

Engenheiro em Eletrônica

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Fundador, Diretor Editorial e Colunista da Revista Manutenção, escreve regularmente sobre diversos assuntos relacionados ao cotidiano da Engenharia, Confiabilidade, Gestão de Ativos e Manutenção.

Desenvolvedor Web e Webdesigner, é responsável pelo design, layout, diagramação, identidade visual e logomarca da Revista Manutenção.

Profissional graduado em Engenharia Eletrônica com ênfase em automação e controle industrial, pós graduado em Engenharia de Manutenção, pela Faculdade Anhanguera de Tecnologia (FAT) de São Bernardo e em Engenharia de Confiabilidade, pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR).

Profissional atua há mais de vinte (20) anos com Planejamento e Controle de Manutenção (PCM), em empresas de médio e grande porte, nacionais e multinacionais, onde edificou carreira profissional como Técnico, Programador, Planejador, Analista e Coordenador de PCM.


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